Міні-проєкт "Інваріант у магічному квадраті"

У дослідницькому міні-проєкті з математики учениця 8 класу досліджує інваріант та магічний квадрат, з’ясовує їхні властивості та застосування. Також авторка роботи будує власний магічний квадрат 3х3 та розв’язує математичні задачі, в яких використовується інваріант як засіб перевірки або доведення.
Докладніше про роботу:
Працюючи над дослідницьким проєктом у 8 класі школярка виявила, що інваріант у магічному квадраті використовується як в математиці, так і в інформатиці для аналізу алгоритмів і побудови ефективних розв’язань. Магічні квадрати демонструють приклад гармонії чисел, допомагають розвитку інтуїції в учнів.
Виконуючи дослідницьку проєктну роботу з математики і досліджуючи інваріант у магічному квадраті, учениця навчилася застосували інваріант для аналізу задач і перевірки правильності побудови квадрату. Здобувачка освіти також навчилася дотримуватись чіткої логіки та уважності та завдяки цьому створила власний магічний квадрат.
Зміст
Вступ
1. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА
1.1. Поняття інваріанту.
1.2. Поняття магічного квадрату.
1.3. Історично значимі квадрати.
2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА
2.1. Завдання 1. Аналіз готового магічного квадрату.
2.2. Завдання 2. Створення власного магічного квадрату 3×3.
Висновки
Вступ
Математика — це не лише наука про числа, а й про структуру, закономірності та логіку. Вивчення таких понять як інваріант та магічний квадрат сприяє розвитку критичного мислення, логічного аналізу та навичок розв’язування нестандартних задач. Ці теми мають прикладне значення в інформатиці, теорії ігор, криптографії, а також можуть використовуватись у математичних олімпіадах.
Актуальність теми полягає в тому, що інваріанти широко використовуються в різних галузях математики та інформатики для аналізу алгоритмів і побудови ефективних розв’язань. Магічні квадрати ж, крім естетичного і пізнавального аспекту, демонструють приклад гармонії чисел, що є хорошим інструментом для розвитку інтуїції в учнів.
Мета проєкту — ознайомитися з поняттями інваріанту та магічного квадрату, з’ясувати їхні властивості та застосування, а також навчитися будувати магічні квадрати й розв’язувати задачі з використанням інваріантів.
Завдання проєкту:
- Дослідити теоретичне поняття інваріанту.
- Ознайомитися з історією та видами магічних квадратів.
- Вивчити формули, за якими визначається магічна константа.
- Проаналізувати приклади магічних квадратів.
- Побудувати власний магічний квадрат.
- Розв’язати задачі, де використовується інваріант як засіб перевірки або доведення.
Об'єкт дослідження: магічний квадрат.
Предмет дослідження: побудова магічного квадрату.
Практична цінність - магічні квадрати можна застосовувати в школі при проведенні позакласних заходів та факультативу з математики. Магічний квадрат застосовують також при дослідженні психологічного портрета людини.
1. ТЕОРЕТИЧНА ЧАСТИНА
1.1. Поняття інваріанту
Інваріант — це величина або властивість, яка залишається незмінною при певних діях, перетвореннях або змінах. Наприклад, у задачах на переміщення чи перестановки чисел інваріантом може бути сума, добуток, кількість певних елементів тощо.
Приклад: У грі з монетами, де дозволено перевертати по дві монети одночасно, інваріантом може бути парність кількості монет, що лежать гербом угору.
Інваріанти використовуються для розв'язання різноманітних задач, зокрема, у геометрії, топології та інших областях математики.
Інваріанти використовуються:
- Для доведення теорем:
Наприклад, інваріантні властивості можуть використовуватися для доведення, що певні операції не дозволяють перетворити один об'єкт на інший. - Для розв'язання задач:
Інваріанти можуть бути ключем до розв'язку задач, зокрема, тих, де потрібно довести неможливість певних перетворень. - Для класифікації:
Інваріанти можуть бути використані для класифікації об'єктів на групи за певними незмінними властивостями.
1.2. Поняття магічного квадрату
Магічний квадрат — це квадратна таблиця розміру n × n, заповнена числами так, щоб сума чисел у кожному рядку, стовпці та на обох діагоналях була однакова.
Магічна константа для квадрату розміру n, заповненого числами від 1 до n², обчислюється за формулою:
Основні характеристики:
- Квадратний:
Магічний квадрат має однакову кількість рядків і стовпців. - Особлива сума:
Сума чисел у кожному рядку, стовпці та на обох діагоналях є однаковою, її називають "магічною сумою". - Різні розміри:
Магічні квадрати можуть мати різні розміри, наприклад, 3x3, 4x4 і т.д.
Застосування:
Магічні квадрати використовуються в навчальних цілях, особливо в математиці.
Вони можуть бути використані як головоломки та інтелектуальні ігри.
1.3. Історично значимі квадрати
Магічний квадрат 3-го порядку з 9-ти перших натуральних чисел (відомий в Китаї як талісман Ло-шу) представляється наступною матрицею 3x3 :
Згідно однієї з легенд, прообразом Ло-шу став візерунок з пов'язаних чорних і білих точок, прикрашаючий панцир величезної черепахи, яку зустрів одного разу на березі ріки Ло-Шуй міфічний прабатько китайської цивілізації Фуси. Жителі Піднебесної вважали таблицю Ло-шу священною, у них навіть не виникало думки про складання аналогічних квадратів більшого розміру. Тому останні стали з'являтися тільки через три тисячоліття.
Константа квадрата Ло-шу дорівнює 15. Це єдиний квадрат 3-го порядку, який можна побудувати з натуральних чисел від 1 до 9, якщо не використати перетворень.
Астрологи середніх віків приписували числовим поєднанням магічних квадратів таємничі і чарівні властивості. Сучасних математиків і програмістів цікавлять форрисьні методи складання магічних квадратів.
На початку XVI в знаменитий німецький художник Альбрехт Дюрер увічнив магічний квадрат в мистецтві, зобразивши його на гравюрі «Меланхолія».
Квадрат Дюрера має розмір 4х4 і складений з шістнадцяти перших натуральних чисел, сума яких в кожному рядку, стовпці і на діагоналі рівна 34. Виявляється, 34 рівні і суми інших четвірок чисел: розташованих в центрі, в кутових клітинах, з боків центрального квадрата, а також, що утворюють чотири рівні квадрати, на які можна розділити початковий квадрат. А ось числа 15 і 14 в нижньому рядку квадрата вказують дату створення гравюри - 1514 р.
Європейців з дивовижними числовими квадратами познайомив візантійський письменник і мовознавець Мосхопулос. Його робота була першим спеціальним твором на цю тему і містила приклади магічних квадратів різного порядку, складених самим автором.
Відомий німецький гуманіст Генріх Корнеліус Агріппа побудував магічні квадрати розмірностей 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Він пов'язав їх із сімома астрологічними «планетами» — Сатурном, Юпітером, Марсом, Сонцем, Венерою, Меркурієм і Місяцем. Срібні пластинки з вигравійованими магічними квадратами носили як амулети, що оберігають від чуми та інших напастей.
Однією з сучасних модифікацій магічного квадрата, з якою знайомий практично кожен школяр, являється популярна гра Судоку. Судоку від яп. 数独, дослівно означає «числа - поруч». Цю головоломку активно публікують газети і журнали різних країн світу. Її правила прості: даний квадрат з 81 клітини, який у свою чергу складається з 9 квадратів по 9 клітин. Треба розставити в клітинах числа від 1 до 9 так, щоб в кожному рядку і стовпці великого квадрата, а також усередині кожного з малих квадратів числа не повторювалися. Частина клітин на початку заповнена, решту треба заповнити самостійно, використовуючи логіку і розрахунок.
2. ПРАКТИЧНА ЧАСТИНА
2.1. Завдання 1. Аналіз готового магічного квадрату
Розглянемо один із найвідоміших прикладів магічного квадрата третього порядку:
Цей квадрат є класичним прикладом магічного квадрата, тобто квадратної таблиці, в якій суми чисел у кожному рядку, кожному стовпці та на обох діагоналях однакові.
Перевірка умов магічності
Проведемо обчислення для кожного з елементів:
Суми по рядках:
- 2+7+6=152 + 7 + 6 = 152+7+6=15
- 9+5+1=159 + 5 + 1 = 159+5+1=15
- 4+3+8=154 + 3 + 8 = 154+3+8=15
Суми по стовпцях:
- 2+9+4=152 + 9 + 4 = 152+9+4=15
- 7+5+3=157 + 5 + 3 = 157+5+3=15
- 6+1+8=156 + 1 + 8 = 156+1+8=15
Суми по діагоналях:
- Головна діагональ: 2+5+8=152 + 5 + 8 = 152+5+8=15
- Побічна діагональ: 6+5+4=156 + 5 + 4 = 156+5+4=15
Усі суми дорівнюють числу 15, яке є магічною константою цього квадрата. Така структура підтверджує, що перед нами справжній магічний квадрат.
2.2. Завдання 2. Створення власного магічного квадрату 3×3
Магічний квадрат — це квадратна таблиця, в якій числа розташовані так, що суми всіх рядків, стовпців і діагоналей однакові. Один із найвідоміших методів побудови магічного квадрата непарного порядку (тобто 3×3, 5×5, 7×7 і т.д.) — це "сіамський метод" або метод діагонального руху.
Алгоритм побудови (на прикладі 3×3)
- Початок: поставте число 1 у центр верхнього рядка.
- Наступний крок: рухайтеся вгору і вправо по діагоналі для кожного наступного числа.
- Якщо виходите за межі таблиці:
- Вихід за верхній край — переходите на останній рядок.
- Вихід за правий край — переходите на перший стовпець.
- Якщо клітинка вже зайнята — рухаєтесь вниз на одну клітинку від останнього заповненого числа.
Результат
Це класичний магічний квадрат третього порядку, де кожен рядок, стовпець і діагональ дає в сумі 15.
Висновки
Під час виконання цього міні-проєкту з математики на тему "Інваріант у магічному квадраті" ми:
- Дізналися, що таке інваріанти та як їх використовують у математиці.
- Ознайомились із магічними квадратами як прикладом гармонії чисел.
- Застосували інваріант для аналізу задач і перевірки правильності побудови квадрату.
- Створили власний магічний квадрат, навчившись дотримуватись чіткої логіки та уважності.
Цей дослідницький проєкт показав, як цікаво може бути вивчати інваріант у магічному квадраті та і взагалі математику, поєднуючи логіку, креативність і естетику чисел.
Список використаної літератури
1. Гарднер, М. (1998). Математичні головоломки та розваги. Київ: Техніка. (Це класична праця з математичної рекреації, яка часто містить розділи про магічні квадрати та інваріанти).
2. Перельман, Я. І. (2007). Захоплива математика. Тернопіль: Навчальна книга – Богдан. (Книга, яка в популярній формі розповідає про різні математичні цікавинки, включаючи магічні квадрати).
3. Бевз, Г. П. (2008). Математика: Підручник для 6 класу загальноосвітніх навчальних закладів. Київ: Генеза. (Шкільний підручник, який може містити базову інформацію про магічні квадрати як приклад математичних закономірностей).
4. Інтернет-ресурси:
- Wikipedia. Магічний квадрат. https://uk.wikipedia.org/wiki/Магічний_квадрат (Для загальної інформації та історії).
- Wikipedia. Інваріант. https://uk.wikipedia.org/wiki/Інваріант (Для теоретичного поняття інваріанта).
Код банера: