Міні-проєкт "Застосування первісної та інтегралу"

Здобувачка освіти 11 класу в дослідницькому міні-проєкті з математики вивчає застосування первісної та інтегралу в фізиці, інженерії та медицині. Авторка на окремих прикладах демонструє важливість теми первісна та інтеграли при протезуванні, проєктуванні конструкцій та в обчисленнях з фізики.

Докладніше про роботу:

В теоретичній частині дослідницької роботи з математики на тему "Застосування первісної та інтегралу" учениця 11 класу наводить термінологію, а саме визначення первісної, визначеного та невизначеного інтегралів. Наводяться основні формули для розрахунку первісних та невизначений інтегралів, формула Ньютона - Лейбніца.

В практичній частині роботи над дослідницьким проєктом досліджується застосування первісної та інтегралу для пошуку роботи, прискорення, швидкості та переміщення. Також досліджується застосування первісної та інтегралу при обчисленні площ перерізу, під час розрахунку об’єму крові та при визначенні навантаження на пошкоджені суглоби та протези пацієнта.

Зміст

Вступ
1. Теоретична частина.
1.1 Термінологія
1.2 Розрахунки
2. Практичне застосування.
2.1 У фізиці
2.2 В інженерії
2.3 У медицині
Висновок
Використані матеріали.

У сучасному світі, все менше дітей розуміють вагомість математики у реальному житті, що призводить до зниження інтересу до її вивчення.

Актуальність: зацікавити учнів у вивченні математики.

Мета: на прикладах продемонструвати важливість теми первісна та інтеграли.

Завдання: дослідити у яких сферах вживаються первісні та інтеграли.

Термінологія

Первісна - функція, похідна якої дорівнює заданій функції. Іншими словами, якщо функція F(x) є первісною для функції 𝑓(𝑥), то вона задовольняє рівнянню: 𝐹′(𝑥)=𝑓(𝑥).

Невизначений інтеграл - це сукупність усіх первісних певної функції.

Визначений інтеграл - це інтеграл функції на певному відрізку [a,b].

Геометричний зміст первісної - це площа криволінійної трапеції, яка обмежена двома прямими паралельними осі Оу , та віссю Ох.
Фізичний зміст первісної - це зв’язок між прискоренням, швидкістю та відстанню.

Розрахунки

Задля розрахунку первісних та невизначений інтегралів використовують таблицю:

Задля розрахунку площі криволінійної трапеції , або ж як її ще називають визначеного інтегралу, застосовують формулу Ньютона - Лейбніца:

У фізиці

1. Застосування первісних у фізиці, це фактично фізичний зміст первісний, тобто залежність прискорення, швидкості та переміщення.
Приклад: якщо швидкість тіла V(t)=5t, то переміщення S(t) можна знайти за допомогою невизначеного інтеграла:

2. Також, можна визначити роботу, яка виконується за певним законом:

Приклад 1: Швидкість v(t)=3t²+2. Знайти переміщення за 4 с

Приклад 2: Сила F(x)=4x. Знайти роботу на відстані 5 метрів.

В інженерії

При проєктуванні конструкцій, де необхідно врахувати площу перерізу (в арматурі, стержнях або трубах), є дуже важливим враховувати площу поперечного перерізу матеріалу. Тож, для цього ідеально підійде геометричний зміст первісної, або ж визначений інтеграл:

Приклад: профіль арматури має форму, що задається функцією y=x² визначити площу поперечного перерізу від 0 до 2:

У медицині

1. Застосування первісної можна побачити у кардіології, при аналізі кровообігу, для розрахунку об’єму кровотоку за певний час.

Приклад: Якщо швидкість кровотоку v(t)=3t², знайти об'єм за час від 0 до 2:

2. У наші дні, коли питання протезування та пошкоджень кінцівок не є рідкістю, аналіз руху та навантажень на суглоби при ходи пацієнтів з травмами або при проектуванні протезів є необхідністю, та це можна розрахувати за формулою:

Тобто, якщо відоме прискорення м'яза або суглоба, інтегрування дозволяє знайти швидкість та положення.
Наприклад: Під час кроку пацієнта швидкість стопи змінюється за законом v(t)=3t² +2t. Знайти переміщення стопи за 2 секунди.

Отже, проаналізувавши в рамках дослідницької роботи (міні-проєкта) сфери застосування та вжитку первісної та інтегралу, можна виділити три сфери:

1. Фізика - застосування задля пошуку роботи, прискорення, швидкості та переміщення.
2. Інженерія - при врахуванні площ перерізу.
3. Медицина - під час розрахунку об’єму крові та найважливіше - при визначенні навантаження на пошкоджені суглоби та протези.

Як можна побачити в ході цього дослідницького міні-проєкта з математики, використання первісних та інтегралів досить розповсюджене, тож ми бачимо наскільки математичні знання важливі у реальному житті.

1. https://www.miyklas.com.ua/p/algebra/11-klas/pervisna-ta-integral-15324
2. https://mathab.com.ua/pochatki-analizu/pervisna-integral/pervisna-ta-ii-vl astivosti-neviznachenij-integral.html
3. https://vseosvita.ua/library/embed/001p3l-1ead.doc.html
4. https://freetutor.com.ua/Math/Integral
5. https://buki.com.ua/blogs/zastosuvannya-integralu/
6. https://studfile.net/preview/5751453/page:8/